जाल (गणित)

गणितात आणि मुख्यत्वे जालगणितात आणि जालशास्त्रात, जाल हे अशा वस्तुंच्या किंवा घटकांच्या संचाचे दर्शक असते ज्या वस्तु एकमेकांशी दुव्याने जोडलेल्या असतात. संचातील वस्तु शिरोबिंदुंच्या स्वरूपात दर्शविल्या जातात.

जालाचे दुवे दिशीय किंवा अदिशीय असू शकतात. उदाहरणार्थ, जर जालातिल शिरोबिंदु फेसबुकची खाती दाखवत असतील आणि त्यांमधिल दुवे त्या व्यक्तिंमधील फेसबुकवरील मैत्रि दाखवत असेल तर शिरोबिंदूंमधील दुवे हे अदिशीय असणार कारण दोन्ही व्यक्ती फेसबुकवर एकमेकांचे मित्र असतात. असे होउ शकत नाही कि एक व्यक्ति दुसऱ्या व्यक्तिची मित्र आहे परंतु दुसरी व्यक्ती पहील्या व्यक्तिची मित्र नाही. याउलट जर जालातिल शिरोबिंदु विविध प्राणि दाखवत असतिल आणि त्यांमधिल दुवे कोणता प्राणि कोणत्या प्राण्याचे भक्ष आहे हे दाखवत असेल तर शिरोबिंदूंमधील दुवे हे दिशीय असणार कारण शक्यतो असे होत नाही कि एक प्राणि दुसऱ्याचे भक्ष असेल तर दुसरा प्राणिदेखिल पहिल्याचे भक्ष आहे. ज्या जालातिल दुवे अदिशीय आहेत अशा जालाला अदिशीय जाल तर ज्या जालातिल दुवे दिशीय आहेत अशा जालाला दिशीय जाल असे म्हणले जाते.

६ शिरोबिंदू आणि ७ दुवे असणाऱ्या अदिशीय जालाचे चित्र

गणितीय व्याख्या आणि सादरीकरण

गणितीय भाषेत जाल G ही (V, E) अशी क्रमित जोडी असते. यामध्ये V हा शिरोबिंदुंचा संच तर E हा दुव्यांचा संच आहे.

जोडणी मेट्रिक्स/ रचना मॅट्रिक्स: गणितीय रूपात कोणतेही जाल मॅट्रिक्स म्हणुन दर्शवता येते. ही संकल्पना समजुण घेण्यासाठी १० शिरोबिंदु असणारे जाल विचारात घ्या. या जालातील शिरोबिंदूंना आपण १,२,३,...,१० अशी नावे देऊ. कोणत्या शिरोबिंदूला काय क्रमांक दिला जातो हे यात महत्त्वाचे नाही. आता आपण १० गुणिले १० या आकाराचे मॅट्रिक्स घेऊ. जर शिरोबिंदु j हा शिरोबिंदु iला दुव्याने जोडलेला असेल या मॅट्रिक्स मधिल (i, j) हा घटकाची किंमत १ असेल आणि असे नसेल तर या घटकाची किंमत ० असेल. अशा प्रकारे जालाच्या जोडणीची सर्व माहिती जोडणी मॅट्रिक्समधे अत्यंत नेटक्या प्रकाराने साठवता येते. जोडणी मॅट्रिक्समुले जालाचा अभ्यास करणे खुप सुलभ होते. जोडणी मॅट्रिक्समुळे प्रत्येक वेळी जालाचे चित्र काढण्याची गरज तर राहात नाहिच उलट जालाचे गणितिय आणि संगणकीय विश्लेषणदेखिल शक्य होते.

जालाची गुणवैशिष्ट्ये

जालाचे गणितीय वर्णन करण्याअगोदर हे पाहाणे गरजेचे ठरते की जालाच्या रचनेच्या सरासरी (statistical) वर्णनामध्ये आपल्याला रस आहे कि त्याच्या तंतोतंत वर्णनामध्ये. विशेषतः अनिश्चित जालाच्या रचनेमध्ये जालाची सरासरी गुणवैशिष्ट्ये महत्त्वाचि ठरतात. जालाची काही महत्त्वाची गुणवैशिष्ट्ये खालीलप्रमाणे आहेत.

शिरोबिंदुची दुवासंख्या : जालामधील शिरोबिंदुची दुवासंख्या म्हणजे त्या शिरोबिंदुच्या इतर शिरोबिंदुंशी असणाऱ्या दुव्यांची संख्या होय. उदाहरणार्थ, बाजुच्या चित्रामध्ये शिरोबिंदु ४ची दुवासंख्या ३ आहे आणि शिरोबिंदु ६ची दुवासंख्या १ आहे.

दुवा वितरण : दुवासंख्यांचे त्या जालासाठिचे संभाव्यता वितरण म्हणजेच दुवा वितरण होय

पुंजगुणक : जाल किती प्रमाणात पुंजक्यांसारखे जोडले गेले आहे हे पुंजगुणकाच्या किंमतीवरून लक्षात येते. पुंजगुणकाची न्युनतम किंमत ० असु शकते आणि अधिकतम किंमत १ असु शकते.