लॉरेंट मालिका

गणितामध्ये, जटिल फंक्शन f ( z ) ची लॉरेंट मालिका ही त्या फंक्शनची पॉवर सिरीज म्हणून दर्शवते ज्यामध्ये ऋण पदवीच्या अटींचा समावेश होतो. ज्या प्रकरणांमध्ये टेलर मालिका विस्तार लागू केला जाऊ शकत नाही अशा प्रकरणांमध्ये जटिल कार्ये व्यक्त करण्यासाठी याचा वापर केला जाऊ शकतो. लॉरेंट मालिकेचे नाव 1843 मध्ये पियरे अल्फोन्स लॉरेंट यांच्या नावावर ठेवण्यात आले आणि ते प्रथम प्रकाशित झाले. कार्ल वेअरस्ट्रास यांनी 1841 मध्ये लिहिलेल्या पेपरमध्ये ते प्रथम शोधले असावे, परंतु त्यांच्या मृत्यूनंतर ते प्रकाशित झाले नाही.

लॉरेंट मालिका विशिष्ट बिंदू c आणि एकीकरणाचा मार्ग γ च्या संदर्भात परिभाषित केली जाते. एकत्रीकरणाचा मार्ग लाल रंगाने दर्शविलेल्या अॅन्युलसमध्ये असणे आवश्यक आहे, ज्याच्या आत f ( z ) होलोमॉर्फिक ( विश्लेषणात्मक ) आहे.

बिंदू c बद्दल f ( z ) जटिल फंक्शनसाठी लॉरेंट मालिका दिली आहे

जेथे _n आणि c स्थिरांक असतात, _n सह एका रेषेच्या अविभाज्य द्वारे परिभाषित केले जाते जे कॉचीच्या अविभाज्य सूत्राचे सामान्यीकरण करते:

एकीकरणाचा मार्ग $\gamma$ जॉर्डनच्या वळणाभोवती घड्याळाच्या उलट दिशेने आहे आणि c भोवती आहे आणि अॅन्युलस A मध्ये आहे ज्यामध्ये $f(z)$ होलोमॉर्फिक (विश्लेषणात्मक) आहे. साठी विस्तार $f(z)$ नंतर अॅन्युलसच्या आत कुठेही वैध असेल. उजवीकडील आकृतीमध्ये वलय लाल रंगात दाखवले आहे, त्यासोबत एकीकरणाच्या योग्य मार्गाचे लेबल लावलेले आहे. $\gamma$ . आम्ही घेतल्यास $\gamma$ वर्तुळ असणे $|z-c|=\varrho$, कुठे $r<\varrho <R$, हे फक्त च्या प्रतिबंधाच्या जटिल फूरियर गुणांकांची गणना करण्याइतके आहे $f$ करण्यासाठी $\gamma$ . हे अविभाज्य समोच्च विकृतीमुळे अपरिवर्तित आहेत हे तथ्य $\gamma$ ग्रीनच्या प्रमेयाचा तात्काळ परिणाम आहे.

एक जटिल कार्य f ( z ) येथे लॉरेंट मालिका देखील मिळवू शकते $z=\infty$ . तथापि, हे केव्हा सारखेच आहे $R\rightarrow \infty$ (खालील उदाहरण पहा).

व्यवहारात, वरील अविभाज्य सूत्र गुणांकांची गणना करण्यासाठी सर्वात व्यावहारिक पद्धत देऊ शकत नाही. $a_{n}$ दिलेल्या कार्यासाठी $f(z)$ ; त्याऐवजी, एक अनेकदा ज्ञात टेलर विस्तार एकत्र करून लॉरेंट मालिका एकत्र करते. कारण जेव्हा फंक्शन अस्तित्वात असते तेव्हा त्याचे लॉरेंट विस्तार अद्वितीय असते, या स्वरूपाची कोणतीही अभिव्यक्ती जी दिलेल्या फंक्शनच्या बरोबरीची असते $f(z)$ काही अॅन्युलसमध्ये प्रत्यक्षात लॉरेंटचा विस्तार असावा $f(z)$ .

अभिसरण लॉरेंट मालिका

e ^{−1/ x 2} आणि लॉरेंट अंदाजे: की साठी मजकूर पहा. जसजसे लॉरेंट मालिकेची नकारात्मक पदवी वाढते तसतसे ते योग्य कार्याकडे जाते.

e ^{−1/ x 2} आणि त्याचे लॉरेंट अंदाजे ऋण अंश वाढत आहेत. शून्य विलक्षणतेच्या आजूबाजूचा परिसर कधीही अंदाजे सांगता येत नाही.

क्लिष्ट गुणांक असलेली लॉरेंट मालिका जटिल विश्लेषणातील एक महत्त्वाचे साधन आहे, विशेषतः एकलतेच्या जवळ असलेल्या कार्यांच्या वर्तनाची तपासणी करण्यासाठी.

उदाहरणार्थ फंक्शनचा विचार करा $f(x)=e^{-1/x^{2}}$ सह $f(0)=0$ . वास्तविक कार्य म्हणून, ते सर्वत्र अमर्यादपणे भिन्न आहे; एक जटिल फंक्शन म्हणून तथापि ते x = 0 वर भिन्न नाही. घातांकीय कार्यासाठी पॉवर सिरीजमध्ये x ला −1/x² ने बदलून, आम्ही तिची लॉरेंट मालिका मिळवतो जी एकवचन x = 0 वगळता सर्व जटिल संख्या x साठी f ( x ) च्या समान असते. विरुद्ध आलेख काळ्या रंगात e ^{−1/ x 2} दाखवतो आणि त्याचे लॉरेंट अंदाजे

N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 आणि 50 साठी . N → ∞ म्हणून, एकवचन x = 0 वगळता सर्व (जटिल) संख्या x साठी अंदाजे अचूक होते.

सामान्यतः, लॉरेंट मालिका अॅन्युलसवर परिभाषित होलोमॉर्फिक फंक्शन्स व्यक्त करण्यासाठी वापरली जाऊ शकते, जितकी पॉवर सीरीज डिस्कवर परिभाषित होलोमॉर्फिक फंक्शन्स व्यक्त करण्यासाठी वापरली जाते.

समजा

क्लिष्ट गुणांक a _n आणि जटिल केंद्र c असलेली लॉरेंट मालिका आहे. नंतर एक अद्वितीय अंतर्गत त्रिज्या r आणि बाह्य त्रिज्या R आहे जसे की:

• लॉरेंट मालिका खुल्या वलय A ≡ {z : r < |z − c| < R} वर एकत्रित होतेA ≡ {z : r < |z − c| < R} . लॉरेंट शृंखला अभिसरण होते असे म्हणायचे आहे, आमचा अर्थ असा आहे की सकारात्मक डिग्री पॉवर मालिका आणि नकारात्मक डिग्री पॉवर मालिका दोन्ही एकत्र होतात. शिवाय, हे अभिसरण कॉम्पॅक्ट सेट्सवर एकसमान असेल. शेवटी, अभिसरण मालिका ओपन अॅन्युलसवर होलोमॉर्फिक फंक्शन f ( z ) परिभाषित करते.
• अॅन्युलसच्या बाहेर, लॉरेंट मालिका वळते. म्हणजेच, A च्या बाह्य भागाच्या प्रत्येक बिंदूवर, सकारात्मक अंश शक्ती मालिका किंवा ऋण अंश शक्ती मालिका वळते.
• अ‍ॅन्युलसच्या सीमेवर, आतील सीमेवर किमान एक बिंदू आणि बाह्य सीमेवर एक बिंदू आहे असे म्हणण्याशिवाय सामान्य विधान करता येत नाही की f ( z ) होलोमॉर्फिकली त्या बिंदूंवर चालू ठेवता येत नाही.

हे शक्य आहे की r शून्य असू शकतो किंवा R अनंत असू शकतो; दुस-या टोकावर, r हे R पेक्षा कमी आहे हे आवश्यक नाही. या त्रिज्या खालीलप्रमाणे मोजल्या जाऊ शकतात:

जेव्हा हा नंतरचा लिम सप शून्य असतो तेव्हा आपण R अनंत मानतो.

याउलट, जर आपण A ≡ {z : r < |z − c| < R} या फॉर्मच्या अॅनलसने सुरुवात केलीA ≡ {z : r < |z − c| < R} आणि एक holomorphic फंक्शन f ( z ) A वर परिभाषित केले आहे, नंतर केंद्र c सह एक अद्वितीय लॉरेंट मालिका नेहमीच अस्तित्वात असते जी A वर (किमान) अभिसरण करते आणि f ( z ) फंक्शन दर्शवते.

उदाहरण म्हणून, त्याच्या आंशिक अपूर्णांक विस्तारासह खालील तर्कसंगत कार्याचा विचार करा:

या फंक्शनमध्ये z = 1 आणि z = 2i येथे एकवचन आहे, जेथे अभिव्यक्तीचा भाजक शून्य आहे आणि म्हणून अभिव्यक्ती अपरिभाषित आहे.z = 0 बद्दलची टेलर मालिका (ज्यामधून पॉवर सिरीज मिळते) फक्त त्रिज्या 1 च्या डिस्कमध्ये एकत्रित होईल, कारण ती 1 वर "हिट" करते.

तथापि, z च्या त्रिज्यानुसार 0 बद्दल तीन संभाव्य लॉरेंट विस्तार आहेत:

• एक मालिका आतील डिस्कवर परिभाषित केली आहे जेथे |z| < 1 ; ती टेलर मालिकेसारखीच आहे, $$f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{(2i)^{n+1}}}-1\right)z^{n}.$$हे भौमितिक मालिकेच्या बेरजेच्या सूत्रासह फंक्शनच्या आंशिक अपूर्णांक फॉर्मवरून येते. $${\frac {1}{z-a}}=-{\frac {1}{a}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\tfrac {z}{a}}\right)^{n}$$च्या साठी $|z|<|a|$ .
• दुसरी मालिका मधल्या वलय वर परिभाषित केली आहे जेथे 1 < |z| < 2 दोन एकवचनांमध्ये पकडले आहे: $$f(z)={\frac {1+2i}{5}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }z^{-n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i)^{n+1}}}z^{n}\right).$$येथे, आम्ही भौमितिक मालिका बेरीजचे पर्यायी रूप वापरतो, $${\frac {1}{z-a}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {a}{z}}\right)^{n}$$च्या साठी $|z|>|a|$ .
• तिसरी मालिका अनंत बाह्य वलय वर परिभाषित केली आहे जेथे 2 < |z| < ∞, (जे येथे लॉरेंट विस्तार देखील आहे $z=\infty$ ) $$f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-(2i)^{n-1}\right)z^{-n}.$$ही शृंखला पूर्वीप्रमाणे भौमितिक मालिका वापरून किंवा (x − 1)(x − 2i) द्वारे 1 चा बहुपदी दीर्घ भागाकार करून, उरलेल्या भागाबरोबर न थांबता x ^{− n} अटींमध्ये चालू ठेवून मिळवता येते; खरंच, परिमेय फंक्शनची "बाह्य" लॉरेंट मालिका अपूर्णांकाच्या दशांश स्वरूपाशी एकरूप आहे. ("आतल्या" टेलर मालिकेचा विस्तार त्याचप्रमाणे मिळू शकतो, फक्त डिव्हिजन अल्गोरिदममधील टर्म ऑर्डर उलट करून.)

केस r = 0 ; म्हणजे, होलोमॉर्फिक फंक्शन f ( z ) जे एकाच बिंदू c वर अपरिभाषित असू शकते, विशेषतः महत्वाचे आहे. अशा फंक्शनच्या लॉरेंट विस्ताराच्या a ₋₁ गुणांकाला f ( z ) चे अवशेष म्हणतात c ; हे अवशेष प्रमेयात प्रमुख भूमिका बजावते. याचे उदाहरण विचारात घ्या

हे फंक्शन z = 0 वगळता सर्वत्र होलोमॉर्फिक आहे.

c = 0 बद्दल लॉरेंट विस्तार निश्चित करण्यासाठी, आम्ही घातांकीय कार्याच्या टेलर मालिकेचे आमचे ज्ञान वापरतो:

आम्हाला आढळले की अवशेष आहे 2.

बद्दल विस्तृत करण्यासाठी एक उदाहरण $z=\infty$

:

वेगळेपण

समजा फंक्शन f ( z ) annulus r < | वर holomorphic आहे z − c | < R च्या दोन लॉरेंट मालिका आहेत:

दोन्ही बाजूंनी गुणाकार करा $(z-c)^{-k-1}$, जेथे k हा एक अनियंत्रित पूर्णांक आहे आणि वलयाच्या आत γ मार्गावर एकत्रित होतो,

मालिका एकसमानपणे एकत्र होते $r+\varepsilon \leq |z-c|\leq R-\varepsilon$, जेथे ε ही संकुचित क्लोज्ड अॅन्युलसमध्ये γ समाविष्ट करण्यासाठी पुरेशी लहान धन संख्या आहे, त्यामुळे एकीकरण आणि बेरीज अदलाबदल केली जाऊ शकते. ओळख बदलणे

बेरीज उत्पन्न मध्ये

त्यामुळे लॉरेंट मालिका अद्वितीय आहे.

लॉरेंट बहुपदी

लॉरेंट बहुपदी ही एक लॉरेंट मालिका आहे ज्यामध्ये केवळ अनेक गुणांक शून्य नसलेले असतात. लॉरेंट बहुपदी सामान्य बहुपदींपेक्षा भिन्न असतात कारण त्यांच्याकडे ऋणात्मक पदवी असू शकते.

मुख्य भाग

लॉरेंट मालिकेचा मुख्य भाग म्हणजे नकारात्मक पदवी असलेल्या संज्ञांची मालिका, म्हणजेच

जर f चा मुख्य भाग मर्यादित बेरीज असेल, तर f मध्ये c क्रमाने सर्वोच्च पदाच्या डिग्रीच्या (ऋण) बरोबरीचा ध्रुव आहे; दुसरीकडे, जर f ची आवश्यक एकवचन c वर असेल, तर मुख्य भाग ही अनंत बेरीज आहे (म्हणजे त्यात शून्य नसलेल्या अनेक संज्ञा आहेत).

जर f साठी लॉरेंट मालिकेच्या अभिसरणाची आतील त्रिज्या 0 असेल, तर f ची आवश्यक एकवचन c वर असेल आणि जर मुख्य भाग अनंत बेरीज असेल आणि अन्यथा ध्रुव असेल तरच.

जर अभिसरणाची आतील त्रिज्या सकारात्मक असेल, तर f मध्ये अनेक नकारात्मक संज्ञा असू शकतात परंतु तरीही c वर नियमित असू शकतात, वरील उदाहरणाप्रमाणे, ज्या बाबतीत ते डिस्कमध्ये वेगळ्या लॉरेंट मालिकेद्वारे दर्शविले जाते. c .

केवळ अनेक नकारात्मक संज्ञा असलेली लॉरेंट मालिका चांगल्या प्रकारे वर्तवलेली आहे—त्या एक पॉवर सीरिज आहेत ज्यांनी भागाकार केला आहे. $z^{k}$, आणि त्याचप्रमाणे विश्लेषण केले जाऊ शकते - तर लॉरेंट मालिका असीम अनेक नकारात्मक संज्ञा असलेल्या अभिसरणाच्या अंतर्गत वर्तुळावर गुंतागुंतीचे वर्तन करते.

गुणाकार आणि बेरीज

लॉरेंट मालिका सर्वसाधारणपणे गुणाकार करता येत नाही.बीजगणितीयदृष्ट्या, उत्पादनाच्या अटींच्या अभिव्यक्तीमध्ये असीम बेरीज असू शकतात ज्यांना एकत्र करणे आवश्यक नाही (एक पूर्णांक अनुक्रमांचे परिभ्रमण घेऊ शकत नाही).भौमितिकदृष्ट्या, दोन लॉरेंट मालिकांमध्ये अभिसरणाची नॉन-ओव्हरलॅपिंग अॅन्युली असू शकते.

दोन लॉरेंट शृंखला केवळ मर्यादित अनेक नकारात्मक पदांसह गुणाकार केल्या जाऊ शकतात: बीजगणितानुसार, सर्व बेरीज मर्यादित आहेत; भौमितिकदृष्ट्या, यामध्ये c वर ध्रुव असतात आणि अभिसरण 0 ची आतील त्रिज्या असते, त्यामुळे ते दोन्ही एका ओव्हरलॅपिंग अॅन्युलसवर एकत्र होतात.

अशाप्रकारे औपचारिक लॉरेंट मालिका परिभाषित करताना, एखाद्याला लॉरेंट मालिका आवश्यक आहे ज्यामध्ये केवळ अनेक नकारात्मक संज्ञा आहेत.

त्याचप्रमाणे, दोन अभिसरण लॉरेंट मालिकेची बेरीज एकत्र करणे आवश्यक नाही, जरी ती नेहमी औपचारिकपणे परिभाषित केली जाते, परंतु लॉरेंट मालिकेच्या खाली बांधलेल्या दोनच्या बेरीजमध्ये (किंवा पंक्चर केलेल्या डिस्कवरील कोणतीही लॉरेंट मालिका) अभिसरणाची रिक्त नसलेली अॅन्युलस असते.

तसेच, शेतासाठी $F$, वर परिभाषित केलेल्या बेरीज आणि गुणाकाराने, औपचारिक लॉरेंट मालिका एक फील्ड तयार करेल $F((x))$ जे अंगठीच्या अपूर्णांकांचे क्षेत्र देखील आहे $F[[x]]$ औपचारिक शक्ती मालिकेची

हे सुद्धा पहा

• Puiseux मालिका
• मिटाग-लेफलरचे प्रमेय
• औपचारिक लॉरेंट मालिकासाचा:Sndलॉरेंट मालिका औपचारिकपणे मानली जाते, एका अनियंत्रित कम्युटेटिव्ह रिंगमधील गुणांकांसह, अभिसरणाचा विचार न करता, आणि केवळ अनेक नकारात्मक संज्ञांसह, जेणेकरून गुणाकार नेहमीच परिभाषित केला जातो.
• Z-परिवर्तनसाचा:Sndविशेष बाब ज्यामध्ये लॉरेंट मालिका शून्याबाबत घेतली जाते त्याचा वेळ-मालिका विश्लेषणामध्ये जास्त उपयोग होतो.
• फूरियर मालिकासाचा:Sndबदली $z=e^{\pi iw}$ लॉरेंट मालिकेचे फूरियर मालिकेत किंवा त्याउलट रूपांतर करते. हे j -invariant च्या क्युमालिका विस्तारामध्ये वापरले जाते.
• पडे अंदाजेसाचा:Sndटेलर मालिका व्यवहार्य नसताना वापरलेली दुसरी तंत्र.