बहुपदी

बहुपदी हा गणिताच्या शब्दकोशातील एक महत्त्वाचा शब्द व अतिशय महत्त्वाची संकल्पना आहे. गणिताच्या सर्वच शाखांमधे ही संकल्पना पहावयास मिळते.

X

बहुपदीची व्याख्या देण्याकरिता "रिंग" लागते. जर "र" ही रिंग असेल तर र मधील सहगुणक असणारी एकचलीय बहुपदी म्हणजे, नैसर्गिक संख्यांच्या संचावरून र मधे जाणारे व एका विवक्षित सान्त संख्येनंतर र मधील ० ही किंमत घेणारे फलन असते. म्हणजेच

p: नै → र आणि एका ठराविक m ε नै, नंतर p(n) = 0.

हे लिहिण्याची पद्धती मात्र खालील प्रमाणे आहे. pला सोप्या भाषेमधे सान्त क्रमिकेच्या स्वरूपात लिहिले जाते. त्याकरिता चलपद वापरले जाते. चलपद म्हणजे केवळ एक चिह्न होय. त्याला किंमत नसते. त्याचा घात हा pची कोणत्या नैसर्गिक संख्येवर किंमत काढली आहे ते ठरवतो. ही पद्धती खालीलप्रमाणे आहे. समजा क्ष हे चलपद घेतले, तर

p(क्ष) := p(०)+ p(१)क्ष + p(२) क्ष^२ + ... + p(m )क्ष^m

m नंतर pची किंमत ० आहे, त्यामुळे त्या किंमती लिहीत नाहीत. क्षच्या घातांसोबत असणाऱ्या संख्यांना त्या घाताचा सहगुणक म्हणतात. बहुपदीतील चलाच्या सर्वात मोठ्या शून्येतर सहगुणकाच्या घाताला बहुपदीचा घात असे म्हणतात. दोन बहुपदींची (समजा, p आणि q ची) बेरीज ही एक नवी बहुपदी असते. तिच्यामधे क्ष^kचा सहगुण हा p मधील क्ष^kच्या सहगुणकाची आणि q मधील क्ष^kच्या सहगुणकाची वेरीज आहे. दोन बहुपदींचा(समजा, p आणि q चा) गुणाकार केल्यानंतर मिळणारी बहुपदी म्हणजे जिच्यात क्ष^kचा सहगुणक हा p मधील क्ष^l आणि q मधील क्ष^(k-l)च्या सहगुणकांच्या गुणाकाराची बेरीज असतो.

अशाच प्रकारे द्विचलीय बहुपदीची व्याख्या देता येते. र मधील सहगुणक असणारी द्विचलीय बहुपदी म्हणजे नै × नै वरून र मधे जाणारे आणि सान्त संख्यांनंतर ० असणारे फलन होय. ही लिहिताना दोन चलांची गरज असते. अशाच प्रकारे त्रिचलीय वा बहुचलीय बहुपदीची व्याख्या करता येते.

स्सामान्यत:, केवळ बहुपदी असाच शब्द वापरला असता, त्याचहा अर्थ एकचलीय बहुपदी असा होतो. एकाहून जास्त चलांची बहुपदी असल्यास तसे लिहिले जाते.

उकल

र मधील सहगुणक असणाऱ्या बहुपदीची उकल म्हणजे र मधील अशी संख्या x की जी चल असणाऱ्या क्ष ऐवजी टाकली असता बहुपदीची एकूण किंमत ० होते. उदाहरणार्थ, p(क्ष) = १ - २क्ष ही जर वास्तव सहगुणक असणारी बहुपदी असेल तर क्ष ऐवजी १/२ ही संख्या टाकताच p(१/२)ची किंमत ० होते. त्यामुळे १/२ ही या बहुपदीची उकल आहे. बहुपदींची उकल शोधणे हा एक गणितामधील फार मोठानी जुना प्रश्न आहे. गाल्व्हा थिअरी नामक विषयाचा जन्म या प्रश्नाचे उत्तर शोधताना झाला आहे.

बीजगणिताचे मूलभूत प्रमेय सांगते की कॉम्प्लेक्स संख्यामधील सहगुणक असणाऱ्या प्रत्येक बहुपदीला किमान एक तरी उकल असतेच.
हे प्रमेय जर्मन गणिती गाउसने सिद्ध केले.

ज्या फील्डमधे प्रत्येक बहुपदीला निदान एक तरी उकल असते अशा फील्डला "परिपूर्ण फील्ड" म्हणतात. त्यामुळे बीजगणिताचे एक मूलभूत प्रमेय असे सांगते की कॉम्प्लेक्स संख्याचे फील्ड हे परिपूर्ण फील्ड आहे.