|
'''बहुपदी''' हा गणिताच्या शब्दकोशातील एक मत्वाचामहत्त्वाचा शब्द व अतिशय महत्वाचीमहत्त्वाची संकल्पना आहे. गणिताच्या सर्वच शाखांमधे ही संकल्पना पहावयास मिळते.
== व्याख्या ==
बहुपदीची व्याख्या देण्याकरीतादेण्याकरिता "[[रिंग|रिंग]]" लागते.
जर "र" ही रिंग असेल तर र मधील सहगुणक असणारी एकचलीय बहुपदी म्हणजे, नैसर्गिक संख्यांच्या संचावरून र मधे जाणारे असे फलन असते की जेव एका विविक्षीतविवक्षित सांतसान्त संख्येनंतर र मधील ० ही किंमत घेतेघेणारे फलन असते.
म्हणजेच
हे लिहीण्याचीलिहिण्याची पद्धती मात्र खालील प्रमाणे आहे. p ला सोप्या भाषेमधे सांतसान्त क्रमिकेच्या स्वरुपातस्वरूपात लिहीलेलिहिले जाते. त्याकरीलात्याकरिता चलपद वापारलेवापरले जाते. चलपद म्हणजे केवळ एक चिह्न होय. त्याला किंमत नसते. त्याचा घात हा p ची कोणत्या नैसर्गिक संख्येवर किंमत काढलीाहेकाढली आहे ते ठरवतो. ही पद्धती खालील प्रमाणेखालीलप्रमाणे आहे. समजा क्ष हे चलपद घेतले, तर
p(क्ष) := p(०)+ p(१)क्ष + p(२) क्ष^२ + ... + p(m )क्ष^m
m नंतर p ची किंमत ० आहे, त्यामुळे त्या किंमती लिहीत नाहीत.
क्ष च्या घातांसोबत असणर्याअसणाऱ्या संख्यांना त्या घाताचा सहगुणक म्हणतात. बहुपदीतील चलाच्या सर्वांतसर्वात मोठ्या शून्येतर सहगुणकाच्या घाताला बहुपदीचा घात असे म्हणतात.
दोन बहुपद्यांचीबहुपदींची (समजा, p आणि q ची) बेरीज ही एक नवी बहुपदी असते. जिच्यामधेतिच्यामधे क्ष^k चा सहगुण हा p मधील क्ष^k च्या सहगुणकाची आणि q मधील क्ष^k च्या सहगुणकाची वेरीज आहे.
दोन बहुपद्यांचाबहुपदींचा(समजा, p आणि q चा) गुणाकार गुणाकर केल्यानंतर मिळणारी बहुपदी म्हणजे जिमधेजिच्यात क्ष^k चा सहगुणक हा p मधील क्ष^l आणि q मधील क्ष^(k-l) च्या सहगुणकांच्या गुणाकाराची बेरीज असतो.
अशाच प्रकारे द्विचलीय बहुपदीची व्याख्या देता येते. र मधील सहगुणक असणारी द्विचलियद्विचलीय बहुपदी म्हणजे नै × नै वरून र मधे जाणारे निआणि सांतसान्त संख्यांनंतर ० असणारे फलन होय. ही लिहिताना दोन चलांची गरज असते.
अशाच प्रकारे त्रिचलीय वा बहुचलीय बहुपदीचिबहुपदीची व्याख्या करता येते.
सहसास्सामान्यत:, केवळ बहुपदी असाच शब्द वापरला असता, त्याचहा अर्थ एकचलीय बहुपदी असा होतो. एकाहून जास्त चलांची आपेक्षाबहुपदी आसल्यासअसल्यास तसे लिहीलेलिहिले जाते.
==उकल ==
र मधील सहगुणक असणार्याअसणाऱ्या बहुपदीची उकल म्हणजे र मधील अशी संख्या x की जी चल असणार्याअसणाऱ्या क्ष ऐवजी टाकली असता बहुपदीची एकूण किंमत ० होते.
उदाहरणार्थ,
p(क्ष) = १ - २क्ष
ही जर वास्तव सहगुणक असणारी बहुपदी असेल तर क्ष ऐवजी १/२ ही संख्या टाकताच p(१/२) ची किंमत ० होते. त्यामुळे १/२ ही या बहुपदीची उकल आहे.
बहुपद्यांचीबहुपदींची उकल शोधणे हा एक गणितामधील फार मोठा नि जुना प्रश्न आहे. गाल्व्हा थिअरी नामक विषयाचा जन्म या प्रश्नाचे उत्तर शोधताना झाला आहे.
बीजगणिताचे मूलभूत प्रमेय सांगते की काम्प्लेक्सकॉम्प्लेक्स संख्यामधील सहगुणक असणार्याअसणाऱ्या प्रत्येक बहुपदीला किमान एक तरी उकल असतेच. <br />
हे प्रमेय जर्मन गणिती गाउसने सिद्ध केले.
ज्या [[फिल्डफील्ड|फिल्डमधेफील्डमधे]] प्रत्येक बहुपदीला निदान एक तरी उकल असते अशा फिल्डलाफील्डला "परिपूर्ण फिल्डफील्ड" म्हणतात. त्यामुळे बीजगणिताचे एक मूलभूत प्रमेय असे सांगते की काम्प्लेक्सकॉम्प्लेक्स संख्याचे फिल्डफील्ड हे परीपूर्णपरिपूर्ण फिल्डफील्ड आहे.
| 