फल (गणित)

गणितामध्ये फल (मराठी नामभेद: फलन ; इंग्लिश: Function, फंक्शन) म्हणजे दोन परिमाणांमधील परस्परसंबंध दर्शवणारे समीकरण होय. यात एक परिमाण, ज्यास चल असे म्हणतात, दुसऱ्या परिमाणाचे, ज्यास परचल असे म्हणतात, फल असते. गणिती सूत्रांमध्ये मांडताना, x हे चल परिमाण निविष्टी असलेल्या f या फलाची निष्पत्ती f(x) या चिन्हाद्वारे लिहिली जाते. फलाची ही निष्पत्ती y हे परचल परिमाण मानल्यास, चल व परचल परिमाणांतील फलाच्या स्वरूपातला परस्परसंबंध खालील सूत्राद्वारे मांडला जातो :

कार्टेशी प्रतलावरील आलेखाच्या स्वरूपात दर्शवलेले फलाचे स्वरूप : यात आडव्या अक्षावर x हे निविष्टी असलेले स्वचल परिमाण असून उभ्या अक्षावर त्याची f(x) ही फलनिष्पत्ती दर्शवली आहे. तांबड्या रेघेने दर्शवलेला आलेख f हे फल दर्शवतो.

$y=f(x)$

उदाहरणे

• वास्तव त्रिमित अवकाशात एखादा बिंदू फिरत आहे असे माना. t या वेळेस या बिंदूचे अवकाशातील स्थान f(t) असल्यास

$t\mapsto f(t)$

हे ऋणेतर वास्तव संख्यांवरून त्रिमित अवकाशात, म्हणजेच :$\mathbb {R} ^{3}$ मधे जाणारे फल आहे. लिहताना, $f\colon \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\to \mathbb {R} ^{3}$ हे फल आहे असे लिहतात. येथे $f$ हे फल आहे, $t$ चल, आणि $f(t)$ हे परचल. $f(t)$ला $f$ची $t$ला असणारी किंमत असेही म्हणतात.

समजा, t या वेळेस या बिंदूचे अवकाशातील स्थान $(cos(t),sin(t),0)$ असल्यास, वरील फलाचे सूत्र

$t\mapsto (cos(t),sin(t),0)$ वा $f(t)=(cos(t),sin(t),0)$

असे लिहता येते. फलनाकरिता नेहमीच एखादे सूत्र असेल, असे नाही.