गॅमा फल

गॅमा फल (Gamma function) हे फॅक्टोरियलचे विस्तारित रूप आहे. आणि हे Γ(z) ने दर्शवतात. गॅमा फलाचे उत्तर हे क्रमगुणित मूल्यांमध्ये येते फक्त गॅमा फलातील चलाची किंमत ही १ ने बदलल्यास म्हणजे Γ(2) = 1!,Γ(3) = 2!, नॉन-पॉझिटिव्ह पूर्णांक वगळता सर्व संमिश्र संख्यांसाठी ते परिभाषित केले जाते, आणि जर वास्तविक भाग हा धन असेल तर,

$$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt.$$

प्रत्येक गैर-ऋण पूर्णांक संख्या n साठी क्रमगुणित आणि गॅमा फल यांमधील संबंध हा n! = Γ(n + 1) असा असतो.

• Γ(z) परिभाषित आणि विश्लेषणात्मक क्षेत्र Re(z)>0.
• Γ(n+1)=n! , n≥0 पूर्णांक साठी.
• Γ(z+1)=zΓ(z) (कार्य समीकरण)
• $\Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z}$

 जे सूचित करते,$\Gamma (z-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-z)\Gamma (1+z)}{\Gamma (n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z}$

• लेजेंडर डुप्लिकेशन सूत्र, $\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).$
• ऑयलरचे गॅमा फलाचे मूळचे सूत्र
  $$\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.$$

पाय आणि गॅमा फलामधील संबंध

पाय फलाची व्याख्या (pi function)

$$\Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt.$$

पाय आणि गॅमा फलामधील संबंधाचे सूत्र Π(z) = Γ(z + 1).

अशाप्रकारे प्रत्येक गैर-ऋण पूर्णांक संख्या n साठी, Π(n) = n! .

फॅक्टोरियल फंक्शन (क्रमगुणित फल), ऋण पूर्णांक वगळता सर्व वास्तविक संख्यांसाठी सामान्यीकृत. उदाहरणार्थ, 0! = 1! = 1, (−1/2)! = √π, 1/2! = √π/2.

या व्यतिरिक्त , पाय फल हे क्रमगुणिताप्रमाणे परिभाषित केलेल्या प्रत्येक z (परिभाषित केलेली संमिश्र संख्यां) ला पुनरावृत्ती दर्शविते.

$$\Pi (z)=z\Pi (z-1)\,.$$

हे पुनरावृत्ती संबंध आहे. याला गॅमा फलात लिहील्यास, हे पुनरावृत्त राहत नाही.

$$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,.$$

अर्ध-पूर्णांक संख्यांना या फलांची किंमत ही त्यांच्यापैकी एकाद्वारे निर्धारित केली जाते:

$$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=\left(-{\frac {1}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\,,$$

हे n ∈ N साठी,

$${\begin{aligned}&\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}+n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}+n\right)\\[5pt]={}&{\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2}}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}}{\sqrt {\pi }}\,.\end{aligned}}$$

उदाहरणार्थ,

$$\Gamma \left({\frac {9}{2}}\right)={\frac {7}{2}}!=\Pi \left({\frac {7}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{2}}\cdot {\frac {7}{2}}{\sqrt {\pi }}={\frac {8!}{4^{4}4!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {7!}{2^{7}3!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {105}{16}}{\sqrt {\pi }}\approx 11.631\,728\ldots$$

सर्व n ∈ N साठी,

$$\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}-n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}-n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2}{1-2k}}={\frac {\left(-4\right)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}\,.$$

उदाहरणार्थ,

$$\Gamma \left(-{\frac {5}{2}}\right)=\left(-{\frac {7}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {7}{2}}\right)={\frac {2}{-1}}\cdot {\frac {2}{-3}}\cdot {\frac {2}{-5}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\left(-4\right)^{3}3!}{6!}}{\sqrt {\pi }}=-{\frac {8}{15}}{\sqrt {\pi }}\approx -0.945\,308\ldots$$

काही विशिष्ट किंमती

गॅमा फलाच्या काही विशिष्ट किंमती ..

${\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!&=&+6\end{array}}$

गुणाकार व्यस्त गॅमा फलः

${\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.$