क्रमगुणित

काही निवडक संख्यांचे क्रमगुणीत; काही संख्या अचूकपणे प्रदर्शित करण्यासाठी घातांकाच्या रूपात लिहिल्या आहेत.

n	n!
०	१
१	१
२	२
३	३
४	२४
५	१२०
६	७२०
७	५,०४०
८	४०,३२०
९	३,६२,८८०
१०	३६,२८,८००
११	३,९९,१६,८००
१२	४७,९०,०१,६००
१३	६,२२,७०,२०,८००
१४	८७,१७,८२,९१,२००
१५	१३,०७,६७,४३,६८,०००
१६	२,०९,२२,७८,९८,८८,०००
१७	३५,५६,८७,४२,८०,९६,०००
१८	६,४०,२३,७३,७०,५७,२८,०००.
१९	१,२१,६४,५१,००,४०,८८,३२,०००.
२०	२४,३२,९०,२०,०८,१७,६६,४०,०००.
२५	१.५५११२१००४×10२५
५०	३.०४१४०९३२०×10६४
७०	१.१९७८५७१६७×10१००
१००	९.३३२६२१५४४×10१५७
४५०	१.७३३३६८७३३×10१,०००
१,०००	४.०२३८७२६०१×10२,५६७
३,२४९	६.४१२३३७६८८×10१०,०००
१०,०००	२.८४६२५९६८१×10३५,६५९
२५,२०६	१.२०५७०३४३८×10१,००,०००
१,००,०००	२.८२४२२९४०८×10४,५६,५७३
२,०५,०२३	२.५०३८९८९३२×10१०,००,००४
१०,००,०००	८.२६३९३१६८८×10५५,६५,७०८

गणितामध्ये कोणत्याही ऋण नसलेल्या पूर्णांकाचा nचा क्रमगुणित (factorial- फॅक्टोरियल) हा n! ने दर्शवतात.
क्रमगुणित म्हणजे ती संख्या व तिच्यापेक्षा लहान धन पूर्णांकाचा गुणाकार होय.

 n! = n . (n-१) . (n-२) . (n-३) . (n-४) ..... ४ . ३ . २ . १

उदाहरणार्थ,

 ५! = ५ . ४ . ३ . २ . १ = १२०

याचा उपयोग बीजगणित, मांडणी व जुळवणी मध्ये केला जातो.

०!चे मूल्य! १ आहे. कारण,

 ⇒n!=n×(n−१)!
 समजा nची किंमत १ धरल्यास,
 ⇒१!=१!×(१−१)!
 ⇒१!=१!×(०)!

डावी बाजू = उजवी बाजू असले पाहिजे, हा नियम पूर्ण होण्यासाठी, ०! = १ असणे हे गरजेचे आहे.

गॅमा व पाय फल (फलन)

गैर-ऋण (ऋण नसलेला) पूर्णांकाशिवाय अपूर्णांकांचा सुद्धा क्रमगुणित काढला जाऊ शकतो, परंतु यासाठी गणितीय विश्लेषणातील अधिक प्रगत साधने (क्रिया) आवश्यक आहेत.

गॅमा फल हे फॅक्टोरियलचे विस्तारित रूप आहे. आणि हे Γ(z) ने दर्शवतात. गॅमा फलाचे उत्तर हे क्रमगुणित मूल्यांमध्ये येते फक्त गॅमा फलातील चलाची किंमत ही १ ने बदलल्यास म्हणजे Γ(2) = 1!,Γ(3) = 2!, नॉन-पॉझिटिव्ह पूर्णांक वगळता सर्व संमिश्र संख्यांसाठी ते परिभाषित केले जाते, आणि जर वास्तविक भाग हा धन असेल तर,$$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt.$$प्रत्येक गैर-ऋण पूर्णांक संख्या n साठी क्रमगुणित आणि गॅमा फल यांमधील संबंध हा n! = Γ(n + 1) असा असतो.

यूलरचे गॅमा फलाचे मूळचे सूत्र $$\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.$$

कार्ल फ्रेडरिक गॉस यांनी समान हेच दर्शविण्यासाठी Π(z) चिन्ह वापरले, परंतु चलाची किंमत ही १ ने बदलली आहे, जेणेकरून ते गैर-ऋणात्मक पूर्णांकांच्या क्रमगुणितांसाठी बरोबर ठरेन. पाय फलाची व्याख्या$$\Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt.$$तच

पाय आणि गॅमा फलामधील संबंधाचे सूत्र Π(z) = Γ(z + 1).

अशाप्रकारे प्रत्येक गैर-ऋण पूर्णांक संख्या n साठी, Π(n) = n! .

फॅक्टोरियल फंक्शन (क्रमगुणित फल), ऋण पूर्णांक वगळता सर्व वास्तविक संख्यांसाठी सामान्यीकृत. उदाहरणार्थ, 0! = 1! = 1, (−1/2)! = √π, 1/2! = √π/2.

या व्यतिरिक्त , पाय फल हे क्रमगुणिताप्रमाणे परिभाषित केलेल्या प्रत्येक z (परिभाषित केलेली संमिश्र संख्यां) ला पुनरावृत्ती दर्शविते. $$\Pi (z)=z\Pi (z-1)\,.$$

हे पुनरावृत्ती संबंध आहे. याला गॅमा फलात लिहील्यास, हे पुनरावृत्त राहत नाही.$$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,.$$

अर्ध-पूर्णांक संख्यांना या फलांची किंमत ही त्यांच्यापैकी एकाद्वारे निर्धारित केली जाते:$$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=\left(-{\frac {1}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\,,$$ हे n ∈ N साठी,$${\begin{aligned}&\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}+n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}+n\right)\\[5pt]={}&{\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2}}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}}{\sqrt {\pi }}\,.\end{aligned}}$$उदाहरणार्थ, $$\Gamma \left({\frac {9}{2}}\right)={\frac {7}{2}}!=\Pi \left({\frac {7}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{2}}\cdot {\frac {7}{2}}{\sqrt {\pi }}={\frac {8!}{4^{4}4!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {7!}{2^{7}3!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {105}{16}}{\sqrt {\pi }}\approx 11.631\,728\ldots$$

सर्व n ∈ N साठी, $$\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}-n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}-n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2}{1-2k}}={\frac {\left(-4\right)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}\,.$$ उदाहरणार्थ, $$\Gamma \left(-{\frac {5}{2}}\right)=\left(-{\frac {7}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {7}{2}}\right)={\frac {2}{-1}}\cdot {\frac {2}{-3}}\cdot {\frac {2}{-5}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\left(-4\right)^{3}3!}{6!}}{\sqrt {\pi }}=-{\frac {8}{15}}{\sqrt {\pi }}\approx -0.945\,308\ldots$$