१ − २ + ३ − ४ + · · ·
गणितामध्ये, १ − २ + ३ − ४ + ··· ही एक अनंत मालिका आहे ज्याची अभिव्यक्ती पर्यायी चिन्हांसह सलग सकारात्मक संख्या आहेत, म्हणजेच, प्रत्येक अभिव्यक्तीचे चिन्ह मागील अभिव्यक्तीच्या विरुद्ध आहे. सिग्मा बेरीज नोटेशनच्या मदतीने मालिकेतील पहिल्या m पदांची बेरीज खालीलप्रमाणे लिहिली जाऊ शकते:
अनंत शृंखलेच्या विचलनाचा अर्थ असा होतो की त्याच्या आंशिक बेरीजचा क्रम (1, −1, 2, −2, ...) मर्यादित मूल्याकडे नेत नाही. तथापि, 18 व्या शतकाच्या मध्यभागी, लिओनार्ड यूलरने विरोधाभासी समीकरणात लिहिले:
परंतु या समीकरणाचे महत्त्व बरेच दिवसांनंतरही स्पष्ट झाले नव्हते. 1980 च्या दशकाच्या सुरुवातीस, अर्नेस्टो सिसेरा, इमाइल बोरेल आणि इतरांनी नवीन यूलर पद्धतींसह, भिन्न मालिकांना सामान्य रक्कम नियुक्त करण्यासाठी चांगल्या- परिभाषित पद्धती प्रदान केल्या. 1 − 2 + 3 − 4 + ... ची "बेरीज" विविध तुलनात्मक पद्धतींनी 1⁄4 म्हणून लिहिली जाऊ शकते. 1 − 2 + 3 − 4 + ... ची बेरीज शोधू न शकणाऱ्या पद्धतींपैकी एक सिझेर बेरीज आहे, म्हणून मालिका एक उदाहरण आहे ज्यासाठी एबेल बेरीज पद्धत सारखी थोडी मजबूत पद्धत आवश्यक आहे.
1 − 2 + 3 − 4 + ... ... ही मालिका 1 − 1 + 1 − 1 + ... ग्रँड मालिकेशी सुपरकनेक्ट केलेली आहे. यूलरने या दोन्ही मालिकांचा 1 − 2n + 3n − 4n + ... या मालिकेतील विशेष प्रकरणे म्हणून अभ्यास केला, जिथे ( n यादृच्छिक आहे), आणि बेसल समस्येपर्यंत त्याचे कार्य विस्तारित केले. त्याच्या कार्याचा परिणाम नंतर डिरिचलेट एटा फंक्शन आणि रिमन झेटा फंक्शन म्हणून ओळखले जाणारे कार्यात्मक समीकरण बनले.