शंकु निर्देशक

शंकू निर्देशक हे त्रिमितीय लंबकोनी निर्देशक पद्धती असून ते समकेंद्री वर्तुळे (त्रिज्या $r$ मधून मांडलेली) आणि अनुक्रमे z- आणि x-अक्षाची समांतर असलेल्या दोन लंबित शंकूकुलांपासून बनलेले आहे.

शंकूनिर्देशकाची निर्देशक आवरणे. स्थिरांक b आणि c हे अनुक्रमे १ आणि २ म्हणून निवडलेली आहेत. लाल गोल r=२ दाखविते तर निळा विवृत्तीय शंकू उभ्या μ=कोज्याअ(१) (μ=cosh(1)) दाखविणाऱ्या z-अक्षाबरोबर आहे. आणि पिवळा विवृत्तीय शंकू ν^२ = २/३ दाखविणाऱ्या x-अक्षाबरोबर (हिरवी रेषा) आहे. ही तीन आवरणे/पृष्ठे एक बिंदू P (जो काळा गोल म्हणून दाखविला आहे) कार्टेशियन निर्देशकांत अंदाजे (1.26, -0.78, 1.34) मध्ये छेदतात.

प्राथमिक व्याख्या

शंकू निर्देशके $(r,\mu ,\nu )$ ह्याची व्याख्या अशी केली जाते:-

$x={\frac {r\mu \nu }{bc}}$

$y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}-b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}$

$z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}-c^{2}\right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)}}}$

आणि खालीलप्रमाणे बंधने:-

$\nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}$

$r$ स्थिरांकाची आवरणे हे केंद्रबिंदूची केंद्रीत त्रिज्येचे गोल होयः-

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$

तसेच, $\mu$ आणि $\nu$ स्थिरांकांची आवरणे ही सहलंबित शंकू होयः-

${\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0$

${\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\nu ^{2}-c^{2}}}=0$

ह्या निर्देशक पद्धतीत लॅप्लेसचे समीकरण आणि हेल्महोल्ट्स समीकरण अलग होउ शकते.

मापक घटक

त्रिज्या $r$चा मापक घटक हे गोलीय निर्देशकाप्रमाणे एक ($h_{r}=1$) असते. दोन शंकू निर्देशकांचे मापक घटक पुढीलप्रमाणे:-

$h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\mu ^{2}\right)\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}$

$h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\nu ^{2}\right)\left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}$

संदर्भग्रंथ

• फिलीप एम. मोर्स, हर्मन फेशबाख (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 659. ISBN [[Special:BookSources/0-07-043316-X, साचा:LCCN|0-07-043316-X, [[:साचा:LCCN]]]].
• हेन्‍री मोरेयु, जी. एम. मर्फी (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 183–184. साचा:LCCN.
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 179. साचा:LCCN, ASIN B0000CKZX7.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. pp. 991–100. साचा:LCCN.
• Arfken G (1970). Mathematical Methods for Physicists (2nd ed. ed.). Orlando, FL: Academic Press. pp. 118–119. ASIN B000MBRNX4.CS1 maint: extra text (link)
• Moon P, Spencer DE (1988). "Conical Coordinates (r, θ, λ)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print ed. ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 37–40 (Table 1.09). ISBN 978-0387184302.CS1 maint: extra text (link)

बाह्य दुवे

• मॅथवर्ल्डवरील शंकू निर्देशकाची माहिती