|
[[File:Radian picture in marathi.png|thumb|एखाद्या [[वर्तुळ|वर्तुळाच्या]] [[कंस (भूमिती)|कंसाची]] [[लांबी]] [[त्रिज्या|त्रिज्येइतकी]] घेतली तर वर्तुळकेंद्रापाशी तयार होणारा [[कोन]] एक त्रिज्यी असतो.]]
'''त्रिज्यी'''(इंग्रजीत रेडियन) हे [[कंस (भूमिती)|कंस]] आणि [[त्रिज्या|त्रिज्येतील]] [[गुणोत्तर]] आहे. त्रिज्यी हे कोन मोजण्याचे सामान्य [[एकक]] असून ते [[गणित|गणितातल्या]] [[गणिताच्या शाखा|अनेक शाखांमध्ये]] वापरले जाते. हे एकक पूर्वाश्रमीचे (S.I.=इंटरनॅशनल सिस्टिम ऑफ युनिट्स्)[[एस. आय.आयचे ज्यादापुरवणी एकक]] होते परंतु १९९५ मध्ये हा वर्ग रद्द करण्यात आला आणि सध्या तोत्या वर्गातल्या वर्गएककांना [[एस. आय.चे साधित एकक]] म्हणूनअसे समजला जातोम्हणतात. ह्यासत्रिज्यीला इंग्लिशमध्येइंग्रजीमध्ये ''radian'' ''रॅडियन'', (''रेडियन'') म्हटले जाते. हे (समतल)सपाट कोनाचे एकक आहे. [[घन कोन|घन कोना]]साठी [[चौत्रिज्यी]] हे एस. आय. एकक म्हणजे [[चौत्रिज्यी]] होयआहे.
त्रिज्यी हे '''rad''' किंवा '''c''' चिन्हाने दाखविले जाते. उदा १.२ त्रिज्यीचा कोन १.२ rad असा दाखवितात. तर '''c''' हे अक्षर '''circular measure''' (सर्क्युलर मेझरमेज्हर - वर्तुळीय मापन) ह्या अर्थाने वापरले जाते व ते अंकाच्या उजव्या बाजूला किंचित वर लिहिले जाते. उदा. १.२<sup>c</sup>. (बहुधा नजरचुकीने ह्या चिन्हाचा [[अंश (कोन)|अंशाची]] संबंध लावला जातो:उदा० "1.2°"). परंतु सध्या c चा वापर होत नाही, आणि असा वापर करणारेहीहे थोडेजसे राहिले आहेत. मराठीत त्रिज्या हेकोनाचे माप '''त्रि'''आहे ह्यातसेच चिन्हानेत्रिज्यीसुद्धा दाखविले जातेआहे. उदा.परंतु १.२सध्या त्रिज्यीc हाहे १..२अक्षर त्रि.वापरले असाजात दाखवितातनाही. त्रिज्यी हे दोन लांबींचे गुणोत्तर असल्याने तो एक [[शुद्धांक]] आहे, म्हणून त्याला एकक चिन्ह लावले नाही तरी चालते. त्यामुळे बर्‍याच गणिती लेखनामध्ये rad किंवा c ही चिन्हे लावली जात नाहीत. अंशाचे चिन्ह नसले की तो कोन त्रिज्यीमध्ये मोजला गेला आहे असे गृहीत धरले जाते. मराठीत त्रिज्यी हे माप '''त्रि''' ह्या चिन्हाने दाखविले जाते. उदा. १.२ त्रिज्यी हा १..२ त्रि असा दाखवितात. आणि जेव्हा कोनाचे माप अंशात असते तेव्हा [[°]] हे चिन्ह आवर्जून वापरले जाते.
== व्याख्या ==
त्रिज्यी म्हणजे ज्या वर्तुळाच्या केंद्रापासून काढलेल्या दोन त्रिज्यांमधील कोनासमोर आलेल्या वर्तुळाच्या [[कंस (भूमिती)|कंसाच्या]] लांबीला त्रिज्येने भागणे होय. जर अशा [[कमानलांबी|कंसाची लांबी]] वर्तुळाच्या त्रिज्येइतकी असली तर ता कोनास एक त्रिज्यी कोन म्हणतात. सामान्यपणे सांगायचे झाले तर, अशा कोनाच्याकोनाचे त्रिज्यीचेत्रिज्यीमधील [[मूल्य (गणित)|मूल्य]] हेच संबंधित [[कमानलांबी]] आणि वर्तुळाची [[त्रिज्या]] यांचे गुणोत्तर असते. म्हणजेच,<br/>''[[θ]]'' = ''कंकंस'' /''त्रित्रिज्या'' किंवा इंग्लिश: ''[[θ]]'' = ''s'' /''r''<br/>''θ'' = त्रिज्यीमध्ये समोरील कोनाचे माप, ''कं''/s = कंसाची लांबी/कमानलांबी, आणि ''त्रि''/r = त्रिज्या. उलटपक्षी कोनाने बंदिस्त केलेल्या समोरचा कंसाची लांबी ही त्रिज्यीमधलात्रिज्यीमधल्या कोनाच्या कोनालामापाला त्रिज्येने गुणल्यावर येते.
ह्यावरून हे स्पष्ट होते की वर्तुळाच्या एका पूर्ण [[फेरी (भूमिती)|फेरी]]चे (३६० अंश) त्रिज्यीमधले मूल्य म्हणजे पूर्ण [[परीघ|परीघाला]] त्रिज्येने भागण्याइतके, म्हणजेच २[[पाय (गणित)|π]]''r'' /''r'', किंवा २π होय. ह्याचा अर्थ २π त्रिज्यी म्हणजेच ३६० अंश होय, ह्याचाच अर्थ एक त्रिज्यी म्हणजेच १८०/π होय.
कोनाच्या अंशाच्या मापनाविरुद्ध त्रिज्यी मापनाच्या संकल्पनेचे श्रेय बहुधा १७१४ मधल्या [[रॉजर कोट्स]] ह्यांना जाते.<ref>{{cite web|दुवा = http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Cotes.html | शीर्षक = Biography of Roger Cotes | work=The MacTutor History of Mathematics |date = February 2005 | author= O'Connor, J.J. and E.F. Robertson}}</ref> त्यांनी नाव वगळता ह्याचा शोध लावला आणि त्यातले कोनीय मापनाचे एकक म्हणून असलेला नैसर्गिकपणा ओळखला.
''radian'' ही [[संज्ञा]] पहिल्यांदाच ६ जून १८७३ मध्ये [[बेलफास्ट]]च्या [[क्वीन्स युनिवर्सिटी बेल्फास्ट|क्वीन्स महाविद्यालयातील]] [[जेम्स थॉम्सन (अभियंता)|जेम्स थॉम्सनने]] ([[लॉर्ड केल्विन]]चा भाऊ) काढलेल्या परिक्षापरीक्षा प्रश्नपत्रिका संचेतसंचाच्या मुद्रणात आली. त्याआधी १८६९ मध्ये [[थॉमस मुइरमुईर]] ''rad'', ''radial'' आणि ''radian'' ह्या संज्ञेसंज्ञेबाबतीत बाबतीत द्विमनस्थितीतद्विधामनस्थितीत होता. नंतर १८७४ मध्ये जेम्स थॉम्सनच्या सल्ल्याने त्याने ''radian'' ही संज्ञा वापरायला सुरवातसुरुवात केली.<ref>{{ cite book| author=[[Florian Cajori]]| year=1929| शीर्षक=History of Mathematical Notations| volume= 2|pages= 147–148| isbn=0486677664}}</ref><ref>{{ cite journal| title= |journal=Nature| year=1910| volume= 83| page=156, 217, and 459–460}}</ref><ref>{{ cite web|दुवा=http://jeff560.tripod.com/r.html| शीर्षक= Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics}}</ref>
== रुपांतरण ==
===अंश आणि त्रिज्यीमधील रुपांतरणरूपांतरण===
[[File:Degree-Radian Conversion.png|thumb|300px|अंश आणि त्रिज्यी रुपांतरण तक्ता]]
आधी सांगितल्याप्रमाणे, एक त्रिज्यी म्हणजेच १८०/π अंश. म्हणजेच त्रिज्यी मधून अंशात रुपांतर करायला १८०/π ने गुणावे.
==त्रिज्यीमधून मोजण्याचे फायदे==
[[File:Radian angles common.png|thumb|357px|right|काही सामान्य कोनेकोन त्रिज्यीमधून मोजून दाखविलेले आहेत. ह्यातले सगळे [[बहुभूजबहुभुज]] हे सामान्य बहूभूजबहुभुज आहेत.]]
[[कलन|कलनामध्ये]] आणि प्रायोगिक भूमिती पलीकडीलभूमितीपलीकडील बर्‍याच गणिती क्षेत्रात सर्वत्र [[कोन]] त्रिज्यीमध्ये मोजले जाते.जातात, कारण, त्रिज्यी मध्ये जो गणिती "नैसर्गिकपणा" असतो त्यामुळे बर्‍याच महत्त्वाच्या निष्पत्तिंचेनिष्पत्तींचे चांगल्या भव्यपद्धतीने सूत्रीकरण करता येते.
विशेषत: [[विश्लेषण (गणित)|विश्लेषणातील]] [[त्रिकोणमितीय फले|त्रिकोणमितींची फलांची]] [[स्वचल|स्वचले]] त्रिज्यींमधून मांडली तर निष्पत्त्या सोप्या आणि भव्य असतात.होतात उदाहरणादार्थ, त्रिज्यीचा वापरवापराने [[फलाची मर्यादा|मर्यादेच्यामर्यादेचे]] सोप्या सूत्राकडेसूत्र घेऊनसोपे जातेहोते.
:<math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1,</math>
:<math>\frac{d^2}{dx^2} \sin x = -\sin x.</math>
ह्या आणि इतर वैशिष्ट्यांमुळे [[उकल|उकलींतगणितातील उकले]] आणि गणिती समस्यांत येणार्‍यायेणार्‍री [[त्रिकोणमितीय फले]] साहजिकच भौमितिक अर्थांपुरतेअर्थांपुरती बंधितमर्यादित रहात नाहीनाहीत. (उदा. भैदिक समीकरणांतील उकले:- <math> \frac{d^2 y}{dx^2} = -y </math>, सांधकाची उकल काढणे:- <math> \int \frac{dx}{1+x^2} </math>, इ. इ.). बहुधा फलांची स्वचले नैसर्गिकपणे त्यांच्या रूपांनुसार, भौमितीकआणि भौमितिक संदर्भानुसार, कोनांच्या त्रिज्यी मापनात लिहेलेले जात असल्याचे आढळूनलिहिलेली येतेदिसतील.
त्रिज्यी वापरल्यावर त्रिकोणमिती फलांचीसुद्धाफलांच्या सोपीश्रेणींचे सोपे आणि भव्य श्रेणी विस्तार होतात;करणे शक्य होते. उदा. पुढे ''[[ज्या फल|ज्या]] x''ची (sin x) [[टेलर श्रेणी]] दाखविली आहे:
:<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots .</math>
जर ''x'' हा कोन अंशांमधून व्यक्त केला असता तर ह्या श्रेणीमध्ये π/१८०च्या [[घात|घातांचे]] बरेच गोंधळात टाकणारे [[अव्यय (गणित)|अव्ययेआकडे]] आले असते:
जर ''x'' अंशामध्ये असेल, आणि त्रिज्यी संख्या ''y'' = π''x'' /१८० असेल, तर
:<math>\sin x_\mathrm{deg} = \sin y_\mathrm{rad} = \frac{\pi}{180} x - \left (\frac{\pi}{180} \right )^3\ \frac{x^3}{3!} + \left (\frac{\pi}{180} \right )^5\ \frac{x^5}{5!} - \left (\frac{\pi}{180} \right )^7\ \frac{x^7}{7!} + \cdots .</math>
गणिती दृष्टीकोनातूनदृष्टिकोनातून [[ज्या फल|ज्या]] आणि [[कोज्या फल|कोज्या]] फलांतील संबंध आणि [[घातांकी फल|घातांकी फले]] (उदाहरणादाखल पाहा, [[ओयलरचेऑयलरचे सूत्र]]) हेसुद्धाही.सुद्धा त्रिज्यीमधून मांडल्यावर सोपी ठरतात,वाटतात जरआणि इतर एककांमधूनमापे वापरली मांडल्यासतर बुचकळ्यात पाडतात.
== [[मितीय विश्लेषण]] ==
त्रिज्यी जरी मापनाचे एकक असले तरी ते मितीहीनमितिहीन राशी आहे. हे व्याख्येवरून सहज लक्षात येउयेऊ शकते. वर्तुळाच्या केंद्रापाशीचा कोन त्रिज्यीमध्ये मोजला, तर तो बंदिस्त कंसाची लांबी आणि वर्तुळाची त्रिज्या यांच्या गुणोत्तराएवढेगुणोत्तराएवढा असतेअसतो. ह्यामध्ये गुणोत्तरच्या दोन्ही राशी सारख्याच एककांमध्ये मोजली जाते. त्यामुळेच ह्या प्रक्रियेत तीएककाचे घालवलीनाव घालवले जाते आणि गुणोत्तर मितीहीनमितिहीन बनते.
दुसर्‍या पद्धतीने सांगायचे तर, आपण आधी दाखविलेल्या ''ज्या x'' (sin ''x'') ची टेलर श्रेणीचेश्रेणी विचारात घेउघेऊ:
:<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots .</math>
जर ''x'' ला एकक असते तर ही बेरीज अर्थहीन ठरेल: [[रेषीयघातहीन घटक]] ''x'' हे [[घनीयघातांकित घटक]] <math>x^3/3!</math> मध्ये मिळवले जाऊ शकत नाही (किंवा घालवलेत्यांची जाऊवजाबाकी होऊ शकत नाही) इ. आणि म्हणूनच ''x'' हा मितीहीनमितिहीन असलाचअसयलाच पाहिजे.
जरी [[ध्रुवीय निर्देशक]] आणि [[गोलीय निर्देशक|गोलीय निर्देशकांमध्ये]] त्रिज्यी निर्देशनासाठी अनुक्रमे [[द्विमिती]] आणि [[त्रिमिती|त्रिमितींमध्ये]] निर्देशनासाठी वापरली जात असली तरी शेवटी ते एकक त्रिज्या निर्देशनपासून साधित आहे, म्हणूनच कोनमापन हे मितीहीनचमितिहीनच राहाते.
==भौतिकीत वापर==
मितीय विश्लेषणासाठी हीच एकके s<sup>−1</sup> आणि s<sup>−2</sup> अशी वापरली जातात.
तेसेच, दोन [[तरंग|तरंगांमधील]] [[प्रावस्थांतर]](फेज-डिस्टन्स)) सुद्धा त्रिज्यीमध्ये मोजले जाते. उदा. जर दोन तरंगांचे प्रावस्थांतर जर (k·२π) त्रिज्यी असेल, आणि k हा जर [[पूर्णांक]] असेल तर ते [[प्रावस्था (तरंग)|प्रावस्थेत]](समान-फेज) असल्याचे समजले जाते आणि जर प्रावस्थांतर (k·2π + π) असेल, आणि क हा जर पूर्णांक असेल तर ते प्रतिप्रावस्थेत(विरुद्ध-फेज) असल्याचे समजले जाते.
== त्रिज्यीचे पट ==
[[एस. आय. उपसर्ग|मेट्रिक उपसर्गांत]] त्रिज्यीचा कमी उपयोग होतो, गणितात मुळीच नाही.
मिलीत्रिज्यीचीमिलित्रिज्यीचे (0.001 rad), जेमाप [[कोनीय मिल|मिल]] म्हणूनही ओळखले जाते, त्याचचीत्याची अंदाजे किंमत बंदुकबंदुका चालविण्यात आणि [[लक्ष्य]] उडविण्यासाठी वापरली जाते. <math>\pi</math> ची अंदाजे किंमत = ३.२ धरली तर एक पूर्ण फेरीसाठी एकूण ६४०० मिल्स होतात. इतर बंदुका चालविण्याच्या पद्धतीत <math>\pi</math>ची वेगळी अंदाजे किंमत वापरली जाते
मिलीत्रिज्यीवरमिलित्रिज्यीवर आधारित किंमतीत १०००मीच्या पल्ल्या मागेपल्ल्यामागे १ मीचीमीटरचा त्रुटीफरक असतेपडतो. (अश्या छोट्या कोनांत वक्रता नगण्य असते). [[लेसर]]च्या [[किरण|किरणांचे]] [[किरण अपसरण|अपसरण]] मोजण्यासाठी मिलीत्रिज्यीचामिलित्रिज्यीचा उपयोग होतो.
मायक्रोत्रिज्यी (मायक्रोरॅडियन) (μrads) आणि नॅनोत्रिज्यी (nrads) सारखी छोटी परिमाणे खगोलशास्त्रात वापरली जातात. परानिम्न अपसरणासाठीसुद्धा ह्याचा वापर केला जातो. मिली पेक्षामिलीपेक्षा लहान एकके अतिसूक्ष्म कोने मोजण्याच्या बाबतीत उपयोगी पडतात.
== हे सुद्धा पाहा ==
| 